Question

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率為，點M（a，0），N（0，b），O（0，0），且△OMN的面積為1．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設A，B是x軸上不同的兩點，點A（異于坐標原點）在橢圓C內，點B在橢圓C外．若過點B作斜率不為0的直線與C相交于P，Q兩點，且滿足∠PAB+∠QAB＝180°．證明：點A，B的橫坐標之積為定值．

Answer 1

【答案】（1）y2＝1；（2）見解析

【解析】

（1）由題意離心率的值及三角形OMN的面積和a，b，c之間的關系求出a，b的值，進而求出橢圓的方程；

（2）作點P關于x軸的對稱點，由橢圓的對稱性可知∠PAB＝∠AB，∠QBA＝∠BA，所以，A，Q三點共線，設Q，A，B的坐標，設直線Q的方程與橢圓聯立求出兩根之和及兩根之積，因為∠QBA＝∠BA，所以，求出兩條直線的斜率，求出A，B的乘積為定值．

解：（1）由題意可得：，解得：a2＝4，b2＝1，

所以橢圓C的標準方程：y2＝1；

（2）證明：作點P關于x軸的對稱點，由橢圓的對稱性可知，

點在橢圓上，且∠PAB＝∠AB，∠QBA＝∠BA，

因為∠PAB+∠QAB＝180°．所以∠AB+∠QAB＝180°，

所以，A，Q三點共線，

由題意可知直線Q不與x軸平行或重合，設直線Q的方程為：x＝ty+m，（mt≠0），

設，

聯立直線與橢圓的方程：，消x可得，

則有y1+y2，y1y2，

因為∠QBA＝∠BA，所以，即，

所以，

即

即，

解得，

因為，所以，

故點A，B橫坐標之積為定值4．