Question

設雙曲線M：

x2

a2

-y²=1，點C（0，1），若直線

x= 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t為參數）交雙曲線的兩漸近線于點A、B，且

.

BC

=2

.

AC

，則雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  10

  3

• C、

  5

• D、

  10

Answer 1

分析：先求出直線AB的方程以及雙曲線的兩漸近線方程，聯立求出點A、B的坐標以及向量的坐標，再代入已知條件即可求出a，進而求出雙曲線的離心率．

解答：解：因為直線

x= 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t為參數）的一般方程為y=x+1，雙曲線的兩漸近線方程為y=

1

a

x，y=-

1

a

x，
聯立

y=x+1 y= 1 a x

?

x= a 1-a y= 1 1-a

，即A（

a

1-a

，

1

1-a

)，
聯立

y=x+1 y=- 1 a x

?

x= a a+1 y=- 1 a+1

，即B（

a

a+1

， -

1

a+1

）．
所以

BC

=(-

a

a+1

， 1+

1

a+1

)，

AC

=（-

a

1-a

， 1-

1

1-a

），
又因為

BC

=2

AC

?-

a

a+1

=2×（-

a

1-a

）?a=-

1

3

．
所以離心率e=

a2+1

|a|

=

10

．
故選D．

點評：本題是對直線與雙曲線位置關系以及雙曲線性質的綜合考查．是對課本知識的考查，是基礎題，重點考查計算能力．