Question

在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（Ⅰ）設b_n=

an

2n-1

．證明：數列{b_n}是等差數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2a_n+2ⁿ構造可得

an

2n-1

-

an-1

2n-2

= 1即數列{b_n}為等差數列
（2）由（1）可求

an

2n-1

=n，從而可得a_n=n•2^n-1 利用錯位相減求數列{a_n}的和

解答：解：由a_n+1=2a_n+2ⁿ．兩邊同除以2ⁿ得

an+1

2n

=

an

2n-1

+1
∴

an+1

2n

-

an

2n-1

=1，即b_n+1-b_n=1
∴{b_n}以1為首項，1為公差的等差數列
（2）由（1）得

an

2n-1

=1+(n-1)×1=n
∴a_n=n•2^n-1
S_n=2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1
2S_n=2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
∴-S_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

- n•2n=(1-n)•2n-1
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1

點評：本題考查利用構造法構造特殊的等差等比數列及錯位相減求數列的和，構造法求數列的通項及錯位相減求數列的和是數列部分的重點及熱點，要注意該方法的掌握．