Question

【題目】在平面直角坐標系中，如圖所示，已知橢圓的左、右頂點分別為，，右焦點為.設過點的直線，與此橢圓分別交于點，，其中，，.

（1）設動點滿足：，求點的軌跡；

（2）設，，求點的坐標；

（3）設，求證：直線必過軸上的一定點（其坐標與無關），并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】(1) 的軌跡為直線. (2) (3) 直線必過軸上一定點.

【解析】

（1）根據橢圓的標準方程可得、、的坐標,設動點.根據條件,結合兩點間距離公式,化簡即可得解.

（2）根據,代入橢圓方程即可求得、的坐標.進而求得直線與直線的方程.聯立兩條直線方程即可求得交點的坐標.

（3）設出直線與直線的方程,分別聯立橢圓方程即可表示出、的坐標.討論與,并分別求得的值.即可求得所過定點的坐標.

（1）由題設得,,,,設動點,

由,,,

代入化簡得.

故點的軌跡為直線

（2）由,,得,則點,

直線的方程為,

由,,得,則點.

直線的方程為,

由.解方程組可得

即

（3）由題設知,直線的方程為：,直線的方程為：,

點滿足,,；

點滿足,,；

若,且,得,

此時直線的方程為,過點；

若,則,直線的斜率,

直線的斜率,

所以,所以直線過點.

因此直線必過軸上一定點.