Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的最小值；

（2）設函數，討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）（2）當時，有0個零點；當或時，有1個零點；當時，有2個零點.

【解析】

（1）令求導，令，求出的值，進而求出單調區間，極小值，求出最小值；

（2）求，求出單調區間和極值，得出，等價轉化為，轉化為求直線與函數的圖像交點個數，通過求導數的方法，研究函數的單調區間，極值和圖像變化趨勢，即可求解.

解：（1）令

，

令，，

所以的單調遞增區間是，單調遞減區間是，

所以時，取得極小值，也是最小值，

所以；

（2），令，

的遞減區間是，遞增區間是，

所以的極小值為，也是最小值，.

所以，

因為，

令，

令，

的遞減區間是，遞增區間是，

所以的極小值為，也是最小值，

所以，

所以的遞減區間是，遞增區間是，

又因為，且，

所以，當時，有0個零點；

當或時，有1個零點；

當時，有2個零點.