Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-1（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求證數列{a_n}是等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{na_n}的前n項和為T_n，求T_n的表達式；
（Ⅲ）對任意n∈N⁺，試比較 

Tn

2

 與 S_n的大小．

Answer 1

（Ⅰ）由S_n=2a_n-1得S_n+1=2a_n+1-1，二式相減得：a_n+1=2a_n+1-2a_n，
∴

an+1

an

=2，∴數列{a_n}是公比為2的等比數列，（3分）
又∵S₁=2a₁-1，∴a₁=1，∴a_n=2^n-1．（5分）
（Ⅱ）∵na_n=n2^n-1，
∴T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1①
2T_n=1•2+2•2²+…+（n-2）•2^n-2+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，②（7分）
①-②得-T_n=1+2+4+…+2^n-2+2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n2n=2n-1-n2n，
∴T_n=n2ⁿ-2ⁿ+1=（n-1）2ⁿ+1．（9分）
（Ⅲ）∵Sn=

1-2n

1-2

=2n-1，
∴

Tn

2

-Sn=

1

2

(n2n-2n+1)-(2n-1)=(n-3)2n-1+

3

2

，（11分）
∴當n=1時，

T1

2

-S₁=-

1

2

＜0，當n=2時，

T2

2

-S₂=-

1

2

＜0，；
當n≥3時，

Tn

2

-S_n＞0．（13分）
綜上，當n=1或n=2時，

Tn

2

＜Sn；當n≥3時，

Tn

2

＞Sn．（14分）