Question

（09年湖北五市聯考理）（12分）

如圖甲，直角梯形中，，，點、分別在，上，且，，，，現將梯形沿折起，使平面與平面垂直（如圖乙）.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）當的長為何值時，二面角的大小為？

Answer 1

解析：解法一：（Ⅰ）MB//NC，MB平面DNC，NC平面DNC，

MB//平面DNC.

同理MA//平面DNC，又MAMB=M, 且MA,MB平面MAB.

.  (6分)

（Ⅱ）過N作NH交BC延長線于H，連HN，

平面AMND平面MNCB，DNMN,

DN平面MBCN，從而,

為二面角D-BC-N的平面角.                                      (9分)

由MB=4，BC=2，知60º，

.   sin60º =                        (10分)

由條件知：                  （12分）

解法二：如圖，以點N為坐標原點，以NM，NC，ND所在直線分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系

易得NC=3，MN=，

設，則.

（I）.

，

∵，

∴與平面共面，又，.                  (6分)

（II）設平面DBC的法向量，

則，令，則， 

∴.                                                       （8分）

又平面NBC的法向量.                                            （9分）

即：    又

即                                                               （12分）