Question

【題目】已知函數(shù)．

（）當(dāng)時，求曲線在點處切線的方程．

（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（）當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)得，及，利用點斜式即可得切線方程；

（2）由，結(jié)合定義域，討論和即可；

（3）恒成立等價于在時恒成立，設(shè)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得最值，只需即可.

試題解析：

（）由，

得：，，

當(dāng)時，，，

∴，，

∴曲線在點處切線的方程為．

（）函數(shù)的定義域為，．

①若，

當(dāng)時，，函數(shù)為增函數(shù)；

和時，

，函數(shù)為減函數(shù)；

②若，

當(dāng)和時，，

函數(shù)為增函數(shù)；

當(dāng)時，，函數(shù)為減函數(shù)，

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，

單調(diào)減區(qū)間為和，

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，

單調(diào)減區(qū)間為．

（）當(dāng)時，恒成立等價于在時恒成立，

設(shè)，則．

可知，當(dāng)時，，為增函數(shù)；

時，，為減函數(shù)，

所以，

故．