Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意，點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）已知數(shù)列滿足，若對(duì)任意，存在使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由題意可得，由時(shí)，時(shí)，，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；
（2）求得，運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)可得所求和；
（3）求得，可令為數(shù)列的前項(xiàng)和，運(yùn)用數(shù)列的分組求和和裂項(xiàng)相消求和可得，分別求得，的最大值，由不等式恒成立和存在性問(wèn)題解法可得的范圍.

解：（1）點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，

可得，

時(shí)，，解得；

時(shí)，，

化為，可得，對(duì)也成立，

則；

（2），

前項(xiàng)和，

，

相減可得

，

化為；

（3）由，可令為數(shù)列的前n項(xiàng)和，

可得

，

由時(shí)，，即有，

可得，

又時(shí)，的最大值為，

對(duì)任意，存在使得成立，

則，解得.