Question

已知函數f（x）=x³-ax，g(x)=

1

2

x2-lnx-

5

2

（1）若對一切x∈（0，+∞），有不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）記G(x)=

1

2

x2-

5

2

-g(x)，求證：G(x)＞

1

ex

-

2

ex

．

Answer 1

（1）原不等式可化為：x3-ax≥2x(

1

2

x2-lnx-

5

2

)-x2+5x-3，化簡得：ax≤2xlnx+x²+3，
∵x＞0，故上式可化為a≤2lnx+

3

x

+x恒成立，則問題等價于a≤(2lnx+

3

x

+x)min．
記t(x)=2lnx+

3

x

+x，(x＞0)，t′(x)=

x2+2x-3

x2

，
令t′（x）=0，得x=1，
∵x＞0，∴在（0，1）上，t′（x）＜0，在（1，+∞）上，t′（x）＞0，
∴t（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．
故當x=1時，t（x）有最小值為4，故a≤4，
∴實數a的取值范圍是a∈（-∞，4]；
（2）化簡得，G（x）=lnx，則原不等式可化為lnx＞

1

ex

-

2

ex

，即證xlnx＞

x

ex

-

2

e

成立，
記F（x）=xlnx，則F'（x）=lnx+1，
當0＜x＜

1

e

時，F'（x）＜0，F（x）遞減；當x＞

1

e

時，F'（x）＞0，F（x）遞增，
故當x=

1

e

時，F（x）取得極小值，也為最小值，其最小值為F(

1

e

)=-

1

e

．
記H(x)=

x

ex

-

2

e

，則H'（x）=

1-x

ex

，
當0＜x＜1時，H'（x）＞0，H（x）遞增；當x＞1時，H'（x）＜0，H（x）遞減；
故當x=1時，H（x）取得極大值，也為最大值，其最大值為H(1)=-

1

e

，
由函數F（x）的最小值與函數H（x）的最大值不能同時取到，
故x∈（0，+∞）時，F（x）＞H（x），故原不等式成立．