Question

【題目】已知函數(shù)在上是增函數(shù)．

求實(shí)數(shù)的值；

若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增即可；

討論時(shí)不滿足題意，則，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)可知在時(shí)，已經(jīng)存在兩個(gè)零點(diǎn)，在等價(jià)為當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，利用參變分離法結(jié)合圖象進(jìn)行求解即可。

解：當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，且，

故當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，即恒成立，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒成立，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)相應(yīng)恒成立，即恒成立，即恒成立，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)相應(yīng)恒成立，即恒成立，即恒成立，

則，即．

若，則在上是增函數(shù)，此時(shí)最多有一個(gè)零點(diǎn)，不可能有三個(gè)零點(diǎn)，則不滿足條件．

故，

當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，故0也是故的一個(gè)零點(diǎn)，

故當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即有且只有一個(gè)解，

即，得，，

則，在時(shí)有且只有一個(gè)根，

即與函數(shù)，在時(shí)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

，

由得，即得，得，此時(shí)函數(shù)遞增，

由得，即得，得，此時(shí)函數(shù)遞減，

即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，此時(shí)極小值為

，

，

作出的圖象如圖，

要使與函數(shù)，在時(shí)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

則或，

即實(shí)數(shù)的取值范圍是．