Question

(本題滿分12分)
已知數列的前項和為，（）．
（Ⅰ）證明數列是等比數列，求出數列的通項公式；
（Ⅱ）設，求數列的前項和；
（Ⅲ）數列中是否存在三項，它們可以構成等差數列？若存在，求出一組符合條件的項；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）見解析，．
（Ⅱ）．
（Ⅲ）不存在滿足條件的三項．

本題主要考查了數列的遞推式的應用，數列的通項公式和數列的求和問題．應熟練掌握一些常用的數列的求和方法如公式法，錯位相減法，疊加法等．
（1）把S_n和S_n+1相減整理求得a_n+1=2a_n+3，整理出3+a_n+1=2（3+a_n），判斷出數列{3+a_n}是首相為6，公比為2的等比數列，求得3+a_n，則a_n的表達式可得．
（2）把（I）中的a_n代入b_n，求得其通項公式，進而利用錯位相減法求得數列的前n項的和．
（3）設存在滿足題意，那么等式兩邊的奇數和偶數來分析不存在。
解析：（Ⅰ）因為，所以，
則，所以，，
所以數列是等比數列，
，，
所以．
（Ⅱ），
，
令，①
，②
①－②得，，
，
所以．
（Ⅲ）設存在，且，使得成等差數列，
則，
即，
即，，因為為偶數，為奇數，
所以不成立，故不存在滿足條件的三項．