Question

我們用部分自然數構造如下的數表：用a_ij（i≥j）表示第i行第j個數（i、j為正整數），使a_i1=a_ii=i；每行中的其余各數分別等于其“肩膀”上的兩個數之和（第一、二行除外，如圖），設第n（n為正整數）行中各數之和為b_n．
（Ⅰ）試寫出b₂-2b₁，b₃-2b₂，b₄-2b₃，b₅-2b₄，并推測b_n+1和b_n的關系（無需證明）；
（Ⅱ）證明數列{b_n+2}是等比數列，并求數列{b_n}的通項公式b_n；
（Ⅲ）數列{b_n}中是否存在不同的三項b_p，b_q，b_r（p、q、r為正整數）恰好成等差數列？若存在，求出p、q、r的關系；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）b₁=1；b₂，=4；b₃=10；b₄=22；b₅=46；
可見：b₂-2b₁=2；b₃-2b₂=2；b₄-2b₃=2；b₅-2b₄=2，（2分）
猜測：b_n+1-2b_n=2（或b_n+1=2b_n+2或b_n+1-b_n=3×2^n-1）（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），（7分）
所以b_n+2是以b₁+2=3為首項，2為公比的等比數列，
∴b_n+2=3×2^n-1，即b_n=3×2^n-1-2（注：若考慮，且不討論n=1，扣1分）（10分）
（Ⅲ）若數列{b_n}中存在不同的三項b_p，b_q，b_r（p、q、r∈N^*）恰好成等差數列，
不妨設p＞q＞r，顯然，b_n是遞增數列，則2b_q=b_p+b_r（11分）
即2×（3×2^q-1-2）=（3×2^p-1-2）+（3×2^r-1-2），于是2×2^q-r=2^p-r+1（14分）
由p、q、r∈N^*且p＞q＞r知，q-r≥1，p-r≥2，
∴等式的左邊為偶數，右邊為奇數，不成立，
故數列{b_n}中不存在不同的三項b_p，b_q，b_r（p、q、r∈N^*）恰好成等差數列．（16分）
分析：（Ⅰ）b₁=1；b₂=4；b₃=10；b₄=22；b₅=46；可見：b₂-2b₁=2；b₃-2b₂=2；b₄-2b₃=2；b₅-2b₄=2，由此能夠猜測：b_n+1-2b_n=2．
（Ⅱ）由，知b_n=3×2^n-1-2．
（Ⅲ）若數列{b_n}中存在不同的三項b_p，b_q，b_r（p、q、r∈N^*）恰好成等差數列，設p＞q＞r，b_n是遞增數列，則2b_q=b_p+b_r，于是2×2^q-r=2^p-r+1，由p、q、r∈N^*且p＞q＞r知，q-r≥1，p-r≥2，由此知數列{b_n}中不存在不同的三項b_p，b_q，b_r（p、q、r∈N^*）恰好成等差數列．
點評：本題考查數列的性質和綜合應用及等比關系的確定，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．