Question

【題目】已知函數，是實數.

(1)若函數是定義在上的奇函數，求的值，并求方程的解；

(2)若對任意的恒成立，求的取值范圍；

(3)若，方程有解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；

（2）；

（3）或；

【解析】

（1）可根據奇函數性質，也可根據特殊點求，再進行驗證即可；令結合一元二次方程的解法即可求解；

（2）可采用分離常數法得對任意的恒成立，令，，令，則，結合二次函數性質即可求解；

（3）時，，化簡得，采用構造函數法，令，轉化為方程在上有解，再結合二次函數對稱軸與增減性進一步求解即可

(1)方法一：因為函數是定義在上的奇函數，

所以對任意恒成立，

即對任意恒成立，

整理得對任意恒成立，

所以.

方法二：因為函數是定義在上的奇函數，所以，解得

檢驗：當時，，

此時，

所以

此時.

因為，即，整理得

解得或 (舍).

所以.

(2)因為對任意的恒成立，

所以，即對任意的恒成立.

令，則，

令，所以

在上單調遞增，

所以

所以，所以.

(3)當時，，因為，

所以.

令，則，

轉化為方程在上有解.

令，

①當時，在為增函數

所以，得.

②當時，需，

即，解得，

所以或.