Question

【題目】已知橢圓的離心率，過(guò)點(diǎn)的直線與原點(diǎn)的距離為.

（1）求橢圓方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，試求面積的范圍.

Answer 1

【答案】(1)（2）

【解析】

（1） 根據(jù)題意，求出直線的方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，列出的等式關(guān)系，再結(jié)合離心率以及聯(lián)立方程求解，即可求出橢圓方程.

（2） 設(shè)出的坐標(biāo)，將直線與橢圓方程聯(lián)立，得到聯(lián)立方程，根據(jù)求出的范圍，再利用弦長(zhǎng)公式表達(dá)出作為三角形的底，再求出原點(diǎn)到直線的距離作為三角形的高，從而表達(dá)出三角形的面積關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合的范圍即可求出面積的范圍.

（1）由題意可知，直線AB的方程為，即，

∵過(guò)點(diǎn)的直線與原點(diǎn)的距離為.

∴，

∴由，解得，

∴橢圓方程為：；

（2）設(shè)點(diǎn)，

聯(lián)立方程，消去得：，

，解得

，，

，

又∵原點(diǎn)到直線的距離，

∵，∴，

∴S△OPQ，

∴，

∴面積的范圍為.