Question

【題目】已知橢圓的焦距與短軸長相等,長軸長為,設過右焦點F傾斜角為的直線交橢圓M于A、B兩點.

(1)求橢圓M的方程；

(2)求證:

(3)設過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C、D,求四邊形ABCD面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）16

【解析】

（1）根據條件可知，再根據，求解方程；

（2）分和兩種情況求弦長，當時，設直線的方程為，與橢圓方程聯立，得到根與系數的關系， ，，代入弦長公式，再根據證明；

（3）由題意可知四邊形的面積是，根據，代入弦長公式可得，再根據三角函數求函數的最小值.

（1）由題意可知，，

解得： ，

橢圓方程是： ；

（2）當時， ，此時，滿足

當時，設直線的斜率為，

設直線的方程為，

由 得

設

， ，

，

，代入上式，

，

綜上可知：.

（3）過右焦點且與直線垂直的直線交橢圓于兩點，

， ，

，

，

當時，的最小值是.

而四邊形的面積是，

四邊形的面積的最小值是.