Question

（本小題滿分13分）

設數列的各項都是正數, 且對任意都有記為數列的前n項和

(1) 求證: ；(2) 求數列的通項公式；

(3) 若(為非零常數, ), 問是否存在整數, 使得對任意,

 都有

Answer 1

解析:

證明：(1)在已知式中, 當時, ∵∴  …(1分)

當時, ①

②

由①－②得, ………(3分)

∵∴即∴適合上式,

  ………(5分)

(2)由(1)知, ③

當時, ④

由③－④得,……(8分)

∵, ∴, 數列是等差數列,首項為1,公差為1, 可得  …(10分)

(3) ∵, ∴………(11分)

∴,

∴⑤………(12分)

當時, ⑤式即為⑥

依題意, ⑥式對都成立, 當時,

⑤式即為 ⑦依題意, ⑦式對都成立,

∴………(13分)    ∴又,

∴存在整數, 使得對任意, 都有  ………(13分)