Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是正方形，且四個(gè)側(cè)面均為等邊三角形.延長至點(diǎn)使，連接，.

（1）證明：；

（2）求二面角平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接，交于點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出平面，從而，由此能證明．

（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（1）連接，交于點(diǎn)，連接，如圖

∵底面是正方形

∴

∵四棱錐中四個(gè)側(cè)面均為等邊三角形

∴

又，故為、的中點(diǎn)

∴

∵

∴平面

∵，為的中點(diǎn)

∴

∴平面

∴

（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，0，，，，，，，，，0，，

，0，，，，，，，，

設(shè)平面的法向量，，，

則，取，得，1，，

設(shè)平面的法向量，，，

則，取，得，1，，

設(shè)二面角的平面角為，

則．

觀察圖形知二面角的平面角為鈍角

二面角的余弦值為．