Question

【題目】持續高溫使漳州市多地出現氣象干旱，城市用水緊張，為了宣傳節約用水，某人準備在一片扇形區域（如圖3）上按照圖4的方式放置一塊矩形ABCD區域宣傳節約用水，其中頂點B，C在半徑ON上，頂點A在半徑OM上，頂點D在 上，∠MON= ，ON=OM=10，m，設∠DON=θ，矩形ABCD的面積為S．
（Ⅰ）用含θ的式子表示DC，OB的長‘
（Ⅱ）若此人布置1m2的宣傳區域需要花費40元，試將S表示為θ的函數，并求布置此矩形宣傳欄最多要花費多少元錢？（精確到0.01）
（參考數據： ≈1.732， ≈1.414）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在△ODC中DC=10sinθ，在△OAB中，OB=10 sinθ；

（Ⅱ）在△ODC中OC=10cosθ，從而S=BC×CD=100（cosθsinθ﹣ sin2θ）（0＜θ＜ ）

由S′=100（﹣sin2θ+cos2θ﹣2 sinθcosθ）=0得tan2θ= ，

由0＜θ＜ ，得θ= ，易得θ= 時，S的最大值為100（1﹣ ）≈13.4．

此人布置1m2的宣傳區域需要花費40元，

∴布置此矩形宣傳欄最多要花費13.4×40=536元錢．

【解析】（Ⅰ）直接在三角形中利用三角函數可以表示DC、OB的長；（Ⅱ）S=BC×CD，求出相應函數，再利用導數方法研究函數的最大值．