Question

已知雙曲線C的方程為-=1(a>0,b>0),離心率e=,頂點到漸近線的距離為.

(1)求雙曲線C的方程;
(2)如圖,P是雙曲線C上一點,A、B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上,且分別位于第一、二象限.若=λ,λ∈.求△AOB的面積的取值范圍.

Answer 1

(1) -x²=1    (2)

解:(1)由題意知,雙曲線C的頂點(0,a)到漸近線ax-by=0的距離為,
∴=,即=.
由得
∴雙曲線C的方程為-x²=1.
(2)由(1)知雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±2x,
設A(m,2m),B(-n,2n),m>0,n>0.
由=λ得P點坐標為,
將P點坐標代入-x²=1,化簡得mn=.
設∠AOB=2θ,∵tan(-θ)2.
∴tanθ=,sin2θ=.
又|OA|=m,|OB|=n,
∴S_△AOB=|OA|·|OB|·sin2θ
=2mn
=+1,
記S(λ)=+1,λ∈.
則S′(λ)=.
由S′(λ)=0得λ=1.
又S(1)=2,S=,S(2)=,
∴當λ=1時,△AOB的面積取得最小值2,當λ=時,
△AOB的面積取得最大值.
∴△AOB面積的取值范圍是.