Question

(1)討論函數(shù)()的圖像與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
(2)求證:對(duì)任意的,不等式總成立.

Answer 1

(1)解:由題意得:.令,得．
當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上遞增；
當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上遞減；
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211204405560.png" style="vertical-align:middle;" />,,,所以當(dāng)或時(shí),沒有交點(diǎn)；當(dāng)或時(shí),有唯一的交點(diǎn)；當(dāng)時(shí),有兩個(gè)交點(diǎn).
(2)證明:由(1)知函數(shù)在上遞增,在上遞減,故在上的最大值為.即對(duì)均有,故.
當(dāng)時(shí),結(jié)論顯然成立；當(dāng)時(shí),有:

.
綜上可知,對(duì)任意的,不等式成立.

本試題主要考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來解決圖像與圖像的交點(diǎn)問題，以及運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來證明不等式的綜合試題。解決該試題的關(guān)鍵是對(duì)于不等式證明，要用到一問中的結(jié)論，來進(jìn)行放縮得證。