Question

【題目】函數．

（1）當時，求方程的根的個數；

（2）若恒成立，求的取值范圍．

注： 為自然對數的底數

Answer 1

【答案】（1）兩個 （2）

【解析】

（1）轉化為研究函數零點問題，利用導數研究其單調性，再根據零點存在定理確定零點個數；

（2）先轉化為對應函數最值問題：，再令，轉化為解不等式，最后根據導數研究新函數單調性，根據單調性解不等式得結果.

（1）當時，構造函數，求導得：，

當時，，在上單調遞減；

當時，，在上單調遞增；

∵．

又∵，

∴，使，即存在兩個零點，

∴方程存在兩個根．

（2），

i）當時，，不合題意，舍去；

ii）當時，由可得，列表：

	-	0	+
		極小值

據表可得，，依題意有

令，則上式等價于，等價于，

構造函數，

記函數，易證得在上單調遞減，在上單調遞增，

∴，∴，∴在上單調遞增，注意到，

∴．

綜上所述，．