Question

已知命題p方程2x²+ax-a²=0在[-1，1]上有解；命題q：只有一個實數x₀滿足不等式x₀²+2ax₀+2a≤0，若命題“p∨q”是假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：分別求出命題p，q成立的等價條件，利用命題“p∨q”是假命題，求實數a的取值范圍．

解答：解：由2x²+ax-a²=0得（2x-a）（x+a）=0，∴x=

a

2

或x=-a，
∴當命題p為真命題時|

a

2

|≤1或|-a|≤1∴|a|≤2．即-2≤a≤2，
又“只有一個實數x₀滿足

x

2 0

+2ax0+2a≤0”，
即拋物線y=x²+2ax+2a與x軸只有一個交點，
∴△=4a²-8a=0，
∴a=0或a=2．
∴當命題q為真命題時，a=0或a=2．
∵命題“p∨q”為假命題，∴p，q同時為假命題，
即

a＞2或a＜-2 a≠0且a≠2

，
∴a＞2或a＜-2．
∴實數a的取值范圍的取值范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞）．

點評：本題主要考查復合命題真假的應用，求出命題成立的等價條件是解決此類問題的關鍵．