Question

（1）3人坐在有八個座位的一排上，若每人的左右兩邊都要有空位，則不同坐法的種數為幾種？
（2）有5個人并排站成一排，如果甲必須在乙的右邊，則不同的排法有多少種？
（3）現有10個保送上大學的名額，分配給7所學校，每校至少有1個名額，問名額分配的方法共有多少種？

Answer 1

分析：（1）根據題意，使用插空法，把3個人看成是坐在座位上的人，往5個空座的空檔插，由組合知識，分析可得答案；
（2）使用倍分法，首先求得總的排法數為A₅⁵，分析可得其中甲在乙的右邊與甲在乙的左邊的情況數目應該相等，進而計算可得答案；
（3）分析題意，可將原問題轉化為10個元素之間有9個間隔，要求分成7份，每份不空，使用插空法，相當于用6塊檔板插在9個間隔中，計算可得答案．

解答：解：（1）由題意知有5個座位都是空的，我們把3個人看成是坐在座位上的人，往5個空座的空檔插，
由于這5個空座位之間共有4個空，3個人去插，共有A₄³=24（種）．
（2）∵總的排法數為A₅⁵=120（種），
∴甲在乙的右邊的排法數為

1

2

A₅⁵=60（種）．
（3）根據題意，將10個名額，分配給7所學校，每校至少有1個名額，
可以轉化為10個元素之間有9個間隔，要求分成7份，每份不空；
相當于用6塊檔板插在9個間隔中，
共有C₉⁶=84種不同方法．
所以名額分配的方法共有84種．

點評：本題考查排列、組合的綜合運用，要求學生會一些特殊方法的使用，如插空法、倍分法等；但首先應該會轉化為對應問題的模型．