Question

已知二次函數f（x）=x²-mx+m（x∈R）同時滿足：（1）不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素；（2）在定義域內存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．設數列{a_n}的前n項和S_n=f（n），bn=1-

8-m

an

，我們把所有滿足b_i•b_i+1＜0的正整數i的個數叫做數列{b_n}的異號數．根據以上信息，給出下列五個命題：
①m=0；
②m=4；
③數列{a_n}的通項公式為a_n=2n-5；
④數列{b_n}的異號數為2；
⑤數列{b_n}的異號數為3．
其中正確命題的序號為

②⑤

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素得出△=（-m）²-4m=0 解得m=0或m=4．結合在定義域內存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，排除m=0．利用數列中a_n與 S_n關系求出a_n，判斷出③的正誤．繼而根據a_n，求出b_n，通過解不等式b_i•b_i+1＜0得出i的取值．

解答：解：若不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素，
根據二次函數的性質，應有△=（-m）²-4m=0 解得m=0或m=4．
當m=0時，f（x）=x²在（0，+∞）上是增函數，不滿足（2），故①錯誤
當m=4時，f（x）=x²-4x+4=（x-2）²，取0＜x₁=1＜x₂=2，
使得不等式f（x₁）＞f（x₂），故m=4，故②正確．
由上S_n=f（n）=（n-2）²，當n=1時，a₁=S₁=1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5．
∴a_n=

1，n=1 2n-5，n≥2

．故③錯誤
當n=1時，b₁=1-4=-3＜0，
而b₂=1-

4

a2

=5＞0，b₁b₂＜0，所以i可以為1．
n≥2時，b_n•b_n+1=（1-

4

2n-5

）（1-

4

2n-3

）=

(2n-9)(2n-7)

(2n-5)(2n-3)

＜0．
解得n=2，4．即i=2、4
即數列{b_n}的異號數為3．故④錯誤，⑤正確
故答案為：②⑤

點評：本題考查二次函數圖象和性質，數列通項公式求解，解不等式．考查閱讀理解、計算等能力．