Question

求證：關于x的方程x²+mx+1=0有兩個負實根的充分條件和必要條件均是m≥2.

Answer 1

思路分析：本題的條件是p:m≥2，結論是q:方程x²+mx+1=0有兩個負實根，然后要明確充分性的證明是：pq.必要性的證明是qp.?

證明：（1）充分性：∵m≥2,∴Δ=m²-4≥0.?

∴x²+mx+1=0有實根，兩根設為x₁,x₂

由韋達定理知x₁x₂=1＞0.?

∴x₁與x₂同號,?

又x₁+x₂=-m≤-2＜0,∴x₁、x₂同為負實數.?

即x²+mx+1=0有兩個負實根的充分條件是m≥2.?

（2）必要性:

∵x²+mx+1=0有兩個負實根x₁和x₂且x₁x₂=1,∴m-2=-（x₁+x₂）-2=-（x₁+）-2=- ≥0,故m≥2.

即x²+mx+1=0有兩負實根的必要條件是m≥2.?

綜上m≥2是x²+mx+1=0有兩負實根的充分條件,也是必要條件.

溫馨提示

本題關鍵是分清命題的條件p，結論q分別表示什么，且分清“充分條件”和“必要條件”的不同.