Question

【題目】已知數列的首項，其前項和為，設.

（1）若，，且數列是公差為的等差數列，求；

（2）設數列的前項和為，滿足.

①求數列的通項公式；

②若對，且，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①；②

【解析】

（1）由條件知，即，從而判斷數列的奇數項和偶數項分別成等差數列，且公差均為，利用公式，求和；

（2）首先求得數列的通項公式，，再利用構造可得，求得數列為等比數列，且公比為，從而求得數列的通項公式；②

不等式等價為，利用①的結果，討論為奇數和為偶數兩種情況，討論求的取值范圍.

（1）由條件知，即，

所以數列的奇數項和偶數項分別成等差數列，且公差均為.

由，，所以，即，

所以，.

所以.

（2）①由，得，

由于符合上式，所以，

所以.

所以，即，

所以數列為等比數列，且公比為，

因為，所以.

②不等式即為，

由于，所以不等式即為.

當是奇數時，，，

所以，

即對，且恒成立，

所以，解得.

當為偶數時，，，

由，得對，且恒成立，

所以，解得，

因為，所以的取值范圍是.