Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出，對分四種情況討論，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（Ⅱ）令 ，原問題等價于在區(qū)間上恒成立，因為，要想在區(qū)間上恒成立，只需，可得當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求出，進而可得結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ） ，

①當(dāng)，即時， 時， ， 時， ，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

②當(dāng)，即時， 和時， ， 時， ，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；

③當(dāng)，即時， 和時， ， 時， ，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；

④當(dāng)，即時， ，所以在定義域上單調(diào)遞增；

綜上：①當(dāng)時， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時， 在定義域上單調(diào)遞增；

③當(dāng)時， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；

④當(dāng)時， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

（Ⅱ）令 ，

原問題等價于在區(qū)間上恒成立，可見，

要想在區(qū)間上恒成立，首先必須要，

而，

另一方面當(dāng)時， ，由于，可見，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，

∴成立，故原不等式成立．

綜上，若在區(qū)間上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為