Question

【題目】如圖，在四棱錐中， ，且．

（Ⅰ）當時，證明：平面平面；

（Ⅱ）當四棱錐的體積為，且二面角為鈍角時，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（Ⅰ）取的中點，連接，由正三角形的性質可得，由勾股定理可得，根據線面垂直的判定定理可得平面，從而根據面面垂直的判定定理可得平面平面；（Ⅱ）根據四棱錐的體積為，可得，∴，以為坐標原點，以為軸， 軸．在平面內過點作垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，算出直線的方向向量與平面的法向量，根據空間向量夾角的余弦公式可得結果.

試題解析：（Ⅰ）取的中點，連接，

∵為正三角形，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴四邊形為矩形，∴，

在中， ， ， ，∴，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（Ⅱ）∵， ， ，

平面，∴平面，

∵平面，∴平面平面，

∴過點作平面，垂足一定落在平面與平面的交線上．

∵四棱錐的體積為，

∴ ，∴，

∵，∴．

如圖，以為坐標原點，以為軸， 軸．

在平面內過點作垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，

由題意可知， ， ， ， ， ，

設平面的一個法向量為，則，得，

令，則，∴，

，設直線與平面所成的角為，

則 ．

則直線與平面所成角的正弦值為．

【方法點晴】本題主要考查利用線面垂直、面面垂直的判定定理以及空間向量求線面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.