【題目】已知函數
．
（1）討論
的單調性；
（2）當
時，
恒成立，求
的取值范圍．
【答案】（1）見解析（2）
．
【解析】
（1）求導，分
、
及
三種情況討論即可；
（2）易知函數
與函數
的單調性一致，然后分類討論驗證即可．
解：（1）由
得
，
當時，
，故函數在
上單調遞減；
當時，令
得，
，此時函數單調遞減；令
得，
，此時函數單調遞增；
當時，令得，，此時函數單調遞減；令得，，此時函數單調遞增；
綜上，當時，函數在上單調遞減；
當時，函數在
上單調遞減，在
上單調遞增；
當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增；
（2）設
，則的單調性與的單調性一致，
當時，在
上單調遞減，所以
，不合題意；
當時， 
，不合題意；
當
時，
，在上單調遞增，
所以
，滿足題意；
當
時，在
上單調遞減，在上單調遞增，
所以
，不合題意；
綜上，實數
的取值范圍為
．
挑戰100單元檢測試卷系列答案
名題金卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】棉花的纖維長度是棉花質量的重要指標．在一批棉花中抽測了60根棉花的纖維長度（單位：
），將樣本數據制作成如下的頻率分布直方圖：
下列關于這批棉花質量狀況的分析不正確的是（ ）
A.纖維長度在
的棉花的數量為9根
B.從這60根棉花中隨機選取1根，其纖維長度在
的概率為0.335
C.有超過一半的棉花纖維長度能達到
以上
D.這批棉花的纖維長度的中位數的估計值為
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的右焦點為
，短軸長為2，過定點
的直線
交橢圓于不同的兩點
、
（點在點，
之間）.
（1）求橢圓的方程；
（2）若
，求實數
的取值范圍；
（3）若射線
交橢圓于點
（
為原點），求
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
是拋物線
的焦點，點
在
軸上，
為坐標原點，且滿足
，經過點且垂直于軸的直線與拋物線
交于
、
兩點，且
.
（1）求拋物線的方程；
（2）直線
與拋物線交于
、
兩點，若
，求點到直線的最大距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，點
是曲線
：
（
為參數）上的動點，以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，以極點為中心，將線段
順時針旋轉
得到
，設點
的軌跡為曲線
．
（1）求曲線，的極坐標方程；
（2）在極坐標系中，點
的坐標為
，射線
與曲線
分別交于
兩點，求
的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若數列
滿足：對于任意
，
均為數列中的項，則稱數列為“
數列”．
（1）若數列的前
項和
，，試判斷數列是否為“數列”？說明理由；
（2）若公差為
的等差數列為“數列”，求的取值范圍；
（3）若數列為“數列”，
，且對于任意，均有
，求數列的通項公式．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】公元2020年春，我國湖北武漢出現了新型冠狀病毒，人感染后會出現發熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等，嚴重的可導致肺炎甚至危及生命.為了盡快遏制住病毒的傳播，我國科研人員，在研究新型冠狀病毒某種疫苗的過程中，利用小白鼠進行科學試驗.為了研究小白鼠連續接種疫苗后出現
癥狀的情況，決定對小白鼠進行做接種試驗.該試驗的設計為：①對參加試驗的每只小白鼠每天接種一次；②連續接種三天為一個接種周期；③試驗共進行3個周期.已知每只小白鼠接種后當天出現癥狀的概率均為
，假設每次接種后當天是否出現癥狀與上次接種無關.
（1）若某只小白鼠出現癥狀即對其終止試驗，求一只小白鼠至多能參加一個接種周期試驗的概率；
（2）若某只小白鼠在一個接種周期內出現2次或3次癥狀，則在這個接種周期結束后，對其終止試驗.設一只小白鼠參加的接種周期為
，求的分布列及數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】總體由編號為01，02，...，39，40的40個個體組成.利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表（如表）第1行的第4列和第5列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為（ ）
A.23B.21C.35D.32
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從秦朝統一全國幣制到清朝末年，圓形方孔銅錢（簡稱“孔方兄”）是我國使用時間長達兩千多年的貨幣．如圖1，這是一枚清朝同治年間的銅錢，其邊框是由大小不等的兩同心圓圍成的，內嵌正方形孔的中心與同心圓圓心重合，正方形外部，圓框內部刻有四個字“同治重寶”．某模具廠計劃仿制這樣的銅錢作為紀念品，其小圓內部圖紙設計如圖2所示，小圓直徑1厘米，內嵌一個大正方形孔，四周是四個全等的小正方形（邊長比孔的邊長小），每個正方形有兩個頂點在圓周上，另兩個頂點在孔邊上，四個小正方形內用于刻銅錢上的字．設
，五個正方形的面積和為
．
（1）求面積關于
的函數表達式，并求
的范圍；
（2）求面積最小值．
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