Question

設數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*，則數列{a_n}的前n項和為

 

．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：本題可根據已知條件構造新數列，由新數列的通項公式得到數列{a_n}的通項公式，再對數列{a_n}用進行分組求和的方法求和，得到本題結論．

解答： 解：∵a_n+1=4a_n-3n+1，
∴a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），
∵a₁=2，
∴a₁-1=1，
∴數列{a_n-n}是以1為首項，公比為4的等比數列．
∴an-n=1×4n-1=4^n-1．
即an=4n-1+n．
∴Sn=(1+1)+(4+2)+(42+3)++(4n-1+n)
=（1+4+4²+…+4^n-1）+（1+2+3+…+n）
=

1(1-4n)

1-4

+

n(n+1)

2

=

n(n+1)

2

+

4n-1

3

．
故應填

n(n+1)

2

+

4n-1

3

．

點評：本題考查了等比數列的定義、通項公式及前n項和公式，用到了構造新數列的辦法求通項公式，還用了分組求和的方法求前n項的和．本題有一定的維度，屬于中檔題．