Question

【題目】已知函數(shù)

（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（II）當(dāng)時(shí)，證明（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】（I）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（II）證明見(jiàn)解析；

【解析】

（I）求導(dǎo)，分及，討論與0的關(guān)系，得出函數(shù)的單調(diào)性；

(II) 依題意，只需證明，令，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值大于0即可得證.

（I）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，或；；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，或；.

綜上討論知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（II）當(dāng)時(shí)，由，只需證明，

令，.

設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

∴當(dāng)時(shí)，取得唯一的極小值，也是最小值.

的最小值是成立.

故成立.