Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）若，討論的單調(diào)性；

（2）若在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】分析：（1）求導(dǎo)得，故根據(jù)的符號(hào)可判斷函數(shù)的單調(diào)性．（2）結(jié)合（1）中的函數(shù)的單調(diào)性求解，當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，故要有兩個(gè)零點(diǎn)，則需，解不等式可得結(jié)果；當(dāng)時(shí)，可得單調(diào)遞增，而，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)0，不合題意．由此可得所求范圍為．

詳解：（ 1）∵，

∴．

令，則．

∴有兩不等實(shí)根，．

且當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．

∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

（2）解法1：

①當(dāng)時(shí)，由（1）知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

∵在上有兩個(gè)零點(diǎn)，且，

∴，解得．

②當(dāng)時(shí)，若，則，在單調(diào)遞增，而，所以因?yàn)?/span>在上有一個(gè)零點(diǎn)0．

綜上得當(dāng)在上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

解法2：

①當(dāng)時(shí)，若，則，在單調(diào)遞增，

又，

∴在上有一個(gè)零點(diǎn)0．

②當(dāng)時(shí)，由（1）得，．

（ⅰ）若，則，在單調(diào)遞增．

又，

∴在上只有一個(gè)零點(diǎn)．

（ⅱ）若，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

∵，

∴若在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得．

綜上得當(dāng)在上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．