Question

在△ABC中，給出下列四個結論：
（1）若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰三角形；
（2）若sinA=sinB，則△ABC是等腰三角形；
（3）若

a

sinA

=

b

sinB

=c，則△ABC是直角三角形；
（4）若sinA＞sinB，則A＞B．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，sin2A=sin2B⇒A=B或2A=π-2B，從而可判斷其正誤；
（2）利用正弦定理將角的正弦化“邊”可判斷（2）；
（3）由正弦定理可知sinC=1，從而可判斷（3）之正誤；
（4）由正弦定理知sinA=

a

2R

，sinB=

b

2R

，從而可判斷（4）之正誤

解答：解：（1）△ABC中，∵sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A=π-2B，即A=B或A+B=

π

2

，
∴△ABC是等腰三角形或是直角三角形，故（1）錯誤；
（2）△ABC中，∵sinA=sinB，
由正弦定理知，sinA=

a

2R

，sinB=

b

2R

，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形，故（2）正確；
（3）∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=c，
∴sinC=1，
∴C=

π

2

，
∴△ABC是直角三角形，故（3）正確；
（4）由正弦定理知sinA=

a

2R

，sinB=

b

2R

，
∴sinA＞sinB?

a

2R

＞

b

2R

?a＞b，
在△ABC中，“大邊”對“大角”，
∴A＞B，故（4）正確；
綜上所述，正確命題的序號是（2）（3）（4）．
故答案為：（2）（3）（4）．

點評：本題考查正弦定理的應用，考查誘導公式及特殊角的三角函數值，突出轉化思想的考查，屬于中檔題．