Question

已知△ABC中，三邊a，b，c所對的角分別為A，B，C，a2+b2-

2

ab=c2，函數f（x）=2sinx（cosx+sinx）．
（1）求f（x）的最小正周期及單調遞減區間；
（2）求角C的大小；
（3）求f(

A

2

)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）化簡f（x）為一個角的一個三角函數的形式，然后求它的最小正周期及單調遞減區間；
（2）利用余弦定理直接求解角C的大小；
（3）由（2）推出0＜A+B＜

3

4

π，求f(

A

2

)的表達式，根據A的范圍確定f(

A

2

)取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=sin2x+2sin2x=sin2x+1-cos2x=1+

2

sin(2x-

π

4

)
∴T=

2π

2

=π，
又令2kπ+

π

2

＜2x-

π

4

＜2kπ+

3π

2

?kπ+

3π

8

＜x＜kπ+

7π

8

∴f（x）的單調遞減區間為(kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

)，k∈Z．（6分）
（2）由a2+b2-

2

ab=c2?cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2

2

，
又0＜C＜π∴C=

π

4

．（9分）
（3）由（2）知，0＜A+B＜

3

4

π，∴0＜A＜

3

4

π，
又f(

A

2

)=1+

2

sin(A-

π

4

)，
-

π

4

＜A-

π

4

＜

π

2

?-

2

2

＜sin(A-

π

4

)＜1?0＜f(

A

2

)＜

2

+1．（13分）

點評：本題考查三角函數的周期性及其求法，正弦函數的單調性，余弦定理，考查學生分析問題解決問題的能力．