Question

已知△ABC中，三邊長a，b，c滿足a²-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0，則這個三角形最大角的大小為

120°

．

Answer 1

分析：根據條件可得b=

(a-3)(a+1)

4

，c=

a2+3

4

，顯然c＞b，假設c=

a2+3

4

＞a，解得 a＜1或a＞3，剛好符合，故最大邊為c，由余弦定理求得cosC 的值，即可得到C 的值．

解答：解：把a²-a-2b-2c=0和a+2b-2c+3=0聯立可得，b=

(a-3)(a+1)

4

，c=

a2+3

4

，顯然c＞b．
比較c與a的大小．
因為b=（a-3）（a+1）/4＞0，解得a＞3，（a＜-1的情況很明顯為負數舍棄了）
假設c=

a2+3

4

＞a，解得 a＜1或a＞3，剛好符合，
所以c＞a，所以最大邊為c．
由余弦定理可得 c²=a²+b²-2ab•cosC，
即 (

a2+3

4

)2=a2+[

(a-3)(a+1)

4

]2-2a

(a-3)(a+1)

4

cosC，
解得cosC=-

1

2

，∴C=120°，
故答案為：120°．

點評：本題主要考查余弦定理的應用，根據三角函數的值求角，判斷最大邊為c，是解題的關鍵，屬于中檔題．