Question

已知平面上的線段l及點P，在l上任取一點Q，線段PQ長度的最小值稱為點P到線段l的距離，記作d（P，l）．
（1）已知P（1，1），線段l：x-y-3=0（3≤x≤5），求d（P，l）；
（2）設A（-1，0），B（1，0），求點集D={P|d（P，AB）≤1}所表示圖形的面積；
（3）若M（0，1），O（0，0），N（2，0），畫出集合Ω={P|d（P，MO）=d（P，NO）}所表示的圖形．

Answer 1

分析：（1）根據d（P，l）的定義，結合兩點間的距離公式和二次函數的性質，即可算出的值d（P，l）．
（2）d（P，AB）≤1，即Q在線段AB上時線段PQ長度的最小值不超過1，由此結合點A、B的坐標，利用距離公式即可化簡出所求圖形的邊界曲線方程，結合矩形面積與圓面積公式可得該圖形的面積；
（3）算出MO、NO的方程，利用題中P到線段l的距離的定義，建立關系式并化簡整理，可得集合Ω表示的曲線方程，再根據曲線方程作出相應的圖形，可得答案．

解答：解：（1）設Q（x，x-3）是線段l：x-y-3=0（3≤x≤5）上一點，則
|PQ|=

(x-1)2+(x-4)2

=

2(x- 5 2 )2+ 9 2

，（3≤x≤5）…（3分）
當x=3時，d（P，l）=|PQ|_最小值=

5

． …（4分）
（2）點集D由如下曲線圍成

l₁：y=1（|x|≤1），l₂：y=-1（|x|≤1），
C₁：（x+1）²+y²=1（x≤-1），C₂：（x-1）²+y²=1（x≥1），
其面積為S=4+π． …（8分）
（3）根據題意，可得
線段MO、NO的方程分別為x=0（0≤y≤1）、y=0（0≤x≤2），
∴Ω={（x，y）|x≤0，y≤0}∪{（x，y）|y=x，0＜x≤1}∪{（x，y）|x²=2y-1，1＜x≤2}
∪{（x，y）|4x-2y-3=0，x＞2}…（12分）
其所表示的圖形為右圖中的陰影區域（含x，y軸負半軸）及曲線OABC．…（14分）

點評：本題給出點P到線段l的距離的定義，求實際問題中的距離并討論相應的曲線方程．著重考查了點到直線的距離公式、二次函數的性質和曲線與方程的化簡等知識，屬于中檔題．