Question

某廠家擬對一商品舉行促銷活動，當該商品的售價為x元時，全年的促銷費用為12（15-2x）（x-4）萬元；根據以往的銷售經驗，實施促銷后的年銷售量t=12萬件，其中4＜x＜7.5，a為常數．當該商品的售價為6元時，年銷售量為49萬件．
（Ⅰ）求出a的值；
（Ⅱ）若每件該商品的成本為4元時，寫出廠家銷售該商品的年利潤y萬元與售價x元之間的關系；
（Ⅲ）當該商品售價為多少元時，使廠家銷售該商品所獲年利潤最大．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵該商品的售價為6元時，年銷售量為49萬件，t=12，
∴49=12（6-8）²+
∴a=2；
（Ⅱ）每件該商品的成本為4元時，y=（x-4）t-[12（15-2x）（x-4）]
∴y=（x-4）[12]-[12（15-2x）（x-4）]
=12（x-4）（x-7）²+2（4＜x＜7.5）
（Ⅲ）y′=36（x-7）（x-5）
令y′＞0，4＜x＜7.5，可得4＜x＜5或7＜x＜7.5；令y′＜0，4＜x＜7.5，可得5＜x＜7；
∴當x=5時，函數取得極大值，且為最大值，最大值為50
∴該商品售價為5元時，使廠家銷售該商品所獲年利潤最大．
分析：（Ⅰ）根據該商品的售價為6元時，年銷售量為49萬件，t=12，即可求得a的值；
（Ⅱ）每件該商品的成本為4元時，y=（x-4）t-[12（15-2x）（x-4）]，由此可得函數關系式；
（Ⅲ）求導函數，確定函數的單調性，可得當x=5時，函數取得極大值，且為最大值，最大值為50．
點評：本題考查函數模型的構建，考查導數知識的運用，單峰函數極值就是最值，屬于中檔題．