Question

已知（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，且2≤n≤8，則n=

5

．

Answer 1

分析：要想使已知展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，需（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中無常數(shù)項(xiàng)、x^-1項(xiàng)、x^-2項(xiàng)，利用（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的通項(xiàng)公式討論即可．

解答：解：設(shè)（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式的通項(xiàng)為T_r+1，則T_r+1=

C

r n

x^n-r•x^-3r=

C

r n

•x^n-4r，2≤n≤8，
當(dāng)n=2時(shí)，若r=0，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中有常數(shù)項(xiàng)，故n≠2；
當(dāng)n=3時(shí)，若r=1，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中有常數(shù)項(xiàng)，故n≠3；
當(dāng)n=4時(shí)，若r=1，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中有常數(shù)項(xiàng)，故n≠4；
當(dāng)n=5時(shí)，r=0、1、2、3、4、5時(shí)，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中均沒有常數(shù)項(xiàng)，故n=5適合題意；
當(dāng)n=6時(shí)，若r=1，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中有常數(shù)項(xiàng)，故n≠6；
當(dāng)n=7時(shí)，若r=2，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中有常數(shù)項(xiàng)，故n≠7；
當(dāng)n=8時(shí)，若r=2，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中有常數(shù)項(xiàng)，故n≠2；
綜上所述，n=5時(shí)，滿足題意．
故答案為：5．

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，突出考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于難題．