Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）若關于的不等式在上恒成立，且，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為和，單調遞減區間為. （2）

【解析】

（1）對函數進行求導，利用導數判斷函數的單調性即可；

（2）令，由，可得，利用分析法和放縮法的思想，通過構造函數，利用導數判斷函數的單調性求最值證得當時，對任意，都有即可.

（1）依題意，，，

令，即，解得，

故當時，，

當時，，

當時，，

故函數的單調遞增區間為和，

單調遞減區間為，

（2）令，

由題意得，當時，，則有，

下面證當時，對任意，都有，

由于時，，

所以當時，，

故只需證明對任意，都有，

令，則，

所以在上恒成立，

所以函數在上單調遞增，

所以當時，，即，

所以，則，

令，，則.

當時，，，

所以，即函數在上單調遞增，

所以當時，，

所以對任意，都有.

所以當時，對任意，都有，

故實數的取值范圍為.