Question

（理科）如圖分別是正三棱臺(tái)ABC－A₁B₁C₁的直觀圖和正視圖，O，O₁分別是上下底面的中心，E是BC中點(diǎn)．

（1）求正三棱臺(tái)ABC－A₁B₁C₁的體積；
（2）求平面EA₁B₁與平面A₁B₁C₁的夾角的余弦；
（3） 若P是棱A₁C₁上一點(diǎn)，求CP＋PB₁的最小值．

Answer 1

（1）21;（2）;（3） 

試題分析：（1）由題意,正三棱臺(tái)高為……..2分
………..4分
（2）設(shè)分別是上下底面的中心，是中點(diǎn)，是中點(diǎn).以 為原點(diǎn)，過(guò)平行的線為軸建立空間直角坐標(biāo)系. ，， ，，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即
取，取平面的一個(gè)法向
量，設(shè)所求角為
則 ……..8分
（3）將梯形繞旋轉(zhuǎn)到,使其與成平角

，由余弦定理得
即的最小值為 ……13分
點(diǎn)評(píng)：高考中的立體幾何問(wèn)題主要是探求和證明空間幾何體中的平行和垂直關(guān)系以及空間角、體積等計(jì)算問(wèn)題．對(duì)于平行和垂直問(wèn)題的證明或探求，其關(guān)鍵是把線線、線面、面面之間的關(guān)系進(jìn)行靈活的轉(zhuǎn)化．在尋找解題思路時(shí)，不妨采用分析法，從要求證的結(jié)論逐步逆推到已知條件．