Question

如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，∥,,點在線段上．

（I）當點為中點時，求證：∥平面；
（II）當平面與平面所成銳二面角的余弦值為時，求三棱錐 的體積．

Answer 1

（I）建立空間直角坐標系，證明，進而得證；（II）

試題分析：
（I ）以直線DA,BC,DE分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
則,所以，
所以，       2分
又是平面的一個法向量，,所以,
所以∥平面.      4分
（II）設，則，又，
則，，
取 得 ， 即 ，
又由題設，是平面的一個法向量，   8分
∴     10分
即點為中點，此時，，為三棱錐的高，
∴ .           12分
點評：解決立體幾何問題，可以用相關的定理證明，也可以用空間向量證明，利用空間向量也要依據相應的判定定理和性質定理，并且要注意各個角的取值范圍.