Question

已知命題p：x²≤5x-4，命題q：x²-（a+2）x+2a≤0
（1）求命題p中對應x的范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據一元二次不等式的解法，即可求命題p中對應x的范圍；
（2）利用p是q的必要不充分條件，建立條件關系，即可求a的取值范圍．

解答：解：（1）∵x²≤5x-4，
∴x²-5x+4≤0，
即（x-1）（x-4）≤0，
∴1≤x≤4，
即命題p中對應x的范圍為1≤x≤4；
（2）設命題p對應的集合為A={x|1≤x≤4}．
由x²-（a+2）x+2a≤0，得（x-2）（x-a）≤0，
當a=2時，不等式的解為x=2，對應的解集為B={2}，
當a＞2時，不等式的解為2≤x≤a，對應的解集為B={x|2≤x≤a}，
當a＜2時，不等式的解為a≤x≤2，對應的解集為B={x|a≤x≤2}，
若p是q的必要不充分條件，
則B?A，
當a=2時，滿足條件．
當a＞2時，∵A={x|1≤x≤4}，B={x|2≤x≤a}，
要使B?A，則滿足2＜a≤4，
當a＜2時，∵A={x|1≤x≤4}，B={x|2≤x≤a}，
要使B?A，則滿足1≤a＜2，
綜上：1≤a≤4．

點評：本題主要考查一元二次不等式的解法，以及充分條件和必要條件的應用，涉及的知識點較多．