Question

已知角A、B、C是△ABC的內角，a，b，c分別是其對邊長，向量

m

=(2

3

sin

A

2

，cos2

A

2

)，

n

=(cos

A

2

，-1)，

m

⊥

n

．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，cosB=

3

3

，求b的長．

Answer 1

分析：（1）根據兩向量垂直時數量積為0，利用平面向量的數量積的運算法則化簡

m

⊥

n

=0，利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，提取2后，利用兩角差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由A的范圍求出此角的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（2）由B的范圍及cosB的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinB的值，然后由a，sinA及sinB的值，利用正弦定理求出b的值即可．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=(2

3

sin

A

2

，cos2

A

2

)•(cos

A

2

，-1)=

3

sinA+(cosA+1)×(-1)=0，
∴

3

sinA-cosA=1，（4分）
∴sin(A-

π

6

)=

1

2

，（6分）
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A-

π

6

=

π

6

，（8分）∴A=

π

3

；（9分）
（2）在△ABC中，A=

π

3

，a=2，cosB=

3

3

，
∴sinB=

1-cos2B

=

1- 1 3

=

6

3

，（10分）
由正弦定理知：

a

sinA

=

b

sinB

，（11分）
∴b=

asinB

sinA

═

2× 6 3

3 2

=

4 2

3

．
∴b=

4 2

3

．（13分）

點評：此題綜合考查了平面向量的數量積的運算法則，三角函數的恒等變換及正弦定理．要求學生掌握平面向量垂直時滿足的關系及正弦函數的值域，牢記特殊角的三角函數值．