Question

已知角A，B，C是△ABC的內角，向量

m

=（1，

3

），

n

=（sin（π-A）），sin（A-

π

2

）），

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函數y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據向量垂直的性質求得sinA-

3

cosA=0，求得tanA的值，進而根據A的范圍求得A．
（Ⅱ）利用二倍角公式和兩角和公式對函數解析式化簡整理利用B的范圍和正弦函數的性質求得函數的值域．

解答：解：（Ⅰ）因為

n

=（sinA，-cosA），且

m

⊥

n

，
所以

m

•

n

=sinA-

3

cosA=0，
則tanA=

3

，又A∈（0，π），所以A=

π

3

；
（Ⅱ）因為y=(1-cos2B)+(

1

2

cos2B+

3

2

sin2B)
=1+

3

2

sin2B-

1

2

cos2B
=1+sin(2B-

π

6

)
而A=

π

3

，所以0＜B＜

2π

3

，
則-

π

6

＜2B-

π

6

＜

7π

6

，所以sin(2B-

π

6

)∈(-

1

2

，1]
故所求函數的值域為y∈(

1

2

，2]．

點評：本題主要考查了三角函數的化簡求值，向量的基本運算．考查了基礎知識的綜合運用．