Question

已知直線l：y=kx+1與雙曲線C：3x²-y²=1的左支交于點A，右支交于點B
（1）求k的取值范圍；
（2）若直線l與y軸交于點P，且滿足|PB|=2|PA|，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）把直線與雙曲線方程聯立消去y，利用判別式大于0和兩根之積小于0聯立求得k的范圍．
（2）因|PB|=2|PA|且點P在線段AB上，故

AP

=

1

2

PB

，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用向量關系得出A，B兩點的坐標之間的關系式，結合（1）中一元二次方程根與系數的關系建立等式即可求出直線l的斜率，從而寫出直線l的方程．

解答：解：（1）由

y=kx+1 3x2-y2=1

，得(3-k2)x2-2kx-2=0（1）
因直線l與雙曲線在左、右兩支分別交于A、B兩點，
所以

3-k2≠0 △=24-4k2＞0 -2 3-k2 ＜0

，解得k²＜3，所以k的取值范圍為(-

3

，

3

)
（2）因|PB|=2|PA|且點P在線段AB上，故

AP

=

1

2

PB

，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于點P的坐標為（0，1），所以有(-x1，1-y1)=

1

2

(x2，y2-1)，
所以x1=-

1

2

x2，
于是可得：x1+x2=

1

2

x2，x1x2=-

1

2

x22
所以有：(x1+x2)2=-

1

2

x1x2，結合（1）有(

2k

3-k2

)2=-

1

2

×

-2

3-k2

，解得k2=

3

5

．
又由于點A在左支，點B在右支，并結合|PB|=2|PA|知k＞0，所以k=

15

5

，從而直線l的方程為y=

15

5

x+1．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系．考查了函數思想的應用，圓錐曲線與向量知識的綜合．