Question

已知直線l：y=kx+1與橢圓

x2

2

+y²=1交于M、N兩點，且|MN|=

4 2

3

．求直線l的方程．

Answer 1

分析：將直線代入橢圓方程，通過消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系，利用弦長公式求直線的斜率，從而得直線方程．

解答：解：設(shè)直線l與橢圓的交點坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y=kx+1 x2 2 +y2=1

消去y得（1+2k²）x²+4kx=0，
所以x1+x2=-

4k

1+2k2

，x1x2=0，由|MN|=

4 2

3

，得(x1-x2)2+(y1-y2)2=

32

9

，
所以(1+k2)(x1-x2)2=

32

9

，即(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=

32

9

，
所以(1+k2)(-

4k

1+2k2

)2=

32

9

，化簡得k⁴+k²-2=0，
解得k²=1，所以k=±1，
所以所求直線l的方程是y=x+1或y=-x+1．

點評：本題主要考查直線與橢圓相交時，利用弦長公式求直線方程，綜合性較強，運算量較大．