Question

【題目】設(shè) 是定義在 上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù) ，恒有 .當(dāng) 時(shí)， .
（1）求證： 是周期函數(shù)；
（2）當(dāng) 時(shí)，求 的解析式；
（3）計(jì)算 .

Answer 1

【答案】
（1）解： ， ， 是周期為 的周期函數(shù)．
（2）解：當(dāng) 時(shí)， ，由已知得 ．

又 是奇函數(shù)， ， ，

又當(dāng) 時(shí)， ， ，

又 是周期為 的周期函數(shù)，

，

從而求得 時(shí)， ．

（3）解： ，又 是周期為 的周期函數(shù)，

又 ，

．

【解析】（1）根據(jù)題意利用函數(shù)的周期即可求出結(jié)果。（2）由題意結(jié)合函數(shù)的奇偶性即可求出 f ( x 4 )的解析式再放假函數(shù)的周期為4故可得到當(dāng) x ∈ [ 2 , 4 ] 時(shí)f ( x )的解析式。（3）利用函數(shù)的周期遞推即可得出結(jié)果。
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．