Question

【題目】已知橢圓:的左右焦點分別是，拋物線與橢圓有相同的焦點，點為拋物線與橢圓在第一象限的交點，且滿足

（1）求橢圓的方程；

（2）與拋物線相切于第一象限的直線，與橢圓交于兩點，與軸交于點，線段的垂直平分線與軸交于點，求直線斜率的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

(1)首先可以通過拋物線與橢圓有相同的焦點得出橢圓的焦點坐標，然后通過列出等式并解出的值，最后帶入拋物線方程中即可得出結果；

(2)首先可以設出切點坐標并寫出切線方程，然后將切線方程與橢圓方程聯立，設兩點坐標為并根據切線方程與橢圓交于兩點并求出的值，然后根據的值寫出的中點坐標以及的垂直平分線方程，最后寫出并得出結果．

(1)因為拋物線與橢圓有相同的焦點，

所以橢圓的焦點，，

設點P的坐標為則，解得（舍去），

將點坐標代入拋物線方程式可得，又，

聯立可解得，所以橢圓的方程為；

(2)設與拋物線相切的切點坐標為，

將拋物線轉化為可知，即切線斜率為，

通過點斜式方程可知直線，

整理得直線，與軸交點坐標

與橢圓方程聯立可得，

設，所以，的中點坐標為，

所以的垂直平分線方程為，

即，

因為所以，當且僅當時“”號，此時取最小值，最小值為．