Question

已知二次函數f(x)有兩個零點0和－2，且f(x)最小值是－1，函數g(x)與f(x)的圖像關于原點對稱．
（1）求f(x)和g(x)的解析式；
（2）若h(x)＝f(x)－λg(x)在區間[－1,1]上是增函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

（1）f(x)＝x²＋2x. g(x)＝－x²＋2x
（2）(－∞，0]

試題分析：(1)依題意，設f(x)＝ax(x＋2)＝ax²＋2ax(a>0)．
f(x)圖像的對稱軸是x＝－1，∴f(－1)＝－1，
即a－2a＝－1，∴a＝1，∴f(x)＝x²＋2x.
∵函數g(x)的圖像與f(x)的圖像關于原點對稱，
∴g(x)＝－f(－x)＝－x²＋2x.
(2)由(1)得h(x)＝x²＋2x－λ(－x²＋2x)＝(λ＋1)x²＋2(1－λ)x.
①當λ＝－1時，h(x)＝4x滿足在區間[－1,1]上是增函數；
②當λ<－1時，h(x)圖像對稱軸是x＝，
則≥1，又λ<－1，解得λ<－1；
③當λ>－1時，同理需≤－1，
又λ>－1，解得－1<λ≤0.
綜上，滿足條件的實數λ的取值范圍是(－∞，0]．
點評：主要是考查了待定系數法求解函數解析式，以及二次函數性質的運用，屬于基礎題。